三、典例解析例3.求證:在(a+b)^n 的展開式中,奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.證明:在展開式(a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^(n-1) b+...〖+C〗_n^k a^(n-k) b^k+...+C_n^n b^n中，令a=1,b=-1，得〖(1-1)^n=C〗_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+...〖+〖(-1)〗^n C〗_n^n即〖0=(C〗_n^0+C_n^2+...)-(C_n^1+C_n^3+...)因此C_n^0+C_n^2+...=C_n^1+C_n^3+...即在(a+b)^n 的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.二項展開式中系數和的求法(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展開式的各項系數之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展開式各項系數之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數之和為f(1),奇數項系數之和為a0+a2+a4+…=(f"(" 1")" +f"(-" 1")" )/2,偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=(f"(" 1")-" f"(-" 1")" )/2.跟蹤訓練1. 在(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項式系數之和;(2)各項系數之和;(3)所有奇數項系數之和.解:設(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(1)二項式系數之和為C_9^0+C_9^1+C_9^2+…+C_9^9=29=512.(2)各項系數之和為a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,將兩式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=(5^9 "-" 1)/2=976 562,即所有奇數項系數之和為976 562.